8字形图形的定律是什么

【顶三角形的定义】

对顶三角形的定义是有一对对顶角。在没有其他条件的情况下，只能确定对顶角相等，另外的角是无法确定对应关系，也无法判断是否相等的。

拓展：

用对顶三角形的性质求角

湖北省黄石市下陆中学周国强

线段AB、CD相交于点O，连结AB、CD，我们把这样的基本图形称之为“对顶三角形”(如图所示).显见，“对顶三角形形”有如下性质:∠A+∠D=∠C+∠B(读者可自已证明).

对于求角问题，若图形中含有“8字形”，运用“8字形”的性质求解，可获事半功倍之效.

例1如图1，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_____度.

析解:图中有若干个现成的“8字形”.因为∠A+∠B=∠1+∠3，∠C+∠D=∠1+∠2，∠E+∠F=∠2+∠3，

所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2(∠1+∠2+∠3)=2×180=360.

例2如图2，在五角星中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。

析解:图中虽有现成的“8字形”，但不易将这五个角集中到同一三角形中来，故连BC，构造新的“8字形”.因为∠1+∠2=∠A+∠D，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠3+∠4+∠E=∠E+∠EBC+∠ECB=180.

例3如图3，若∠A=120，∠B=45，∠E=33，∠F=108求∠COD的度数.

析解:连BE，构造四边形ABEF，因为∠A+∠ABE+∠BEF+∠F=360，所以∠C+∠D=∠CBE+∠DEB=360-(120+45+33+108)=54，从而∠COD=126.

例4如图4，已知∠E+∠F=∠H，求:∠A+∠B+∠ACD+∠CDG的度数.

析解:过点H作HJ∥EB，则∠E=∠EHJ，因为∠E+∠F=∠H，所以∠JHF=∠F，所以HJ∥FG，从而EB∥FG.延长DC交EB于M，则∠BMD+∠MDG=180，又∠ICM+∠ICD=180，所以∠A+∠B+∠ACD+∠CDG=∠ICM+∠IMC+∠ACD+∠CDG=(∠ICM+∠ACD)+(∠IMC+∠CDG)=180+180=360.

例5如图5，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N.解答下列问题:

(1)若∠D=40，∠B=36，求∠P的度数;

(2)如果图中的∠D和∠B为任意角时，其它条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系?(直接写出结论即可)

析解:

(1)由“8字形”的性质知∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，

∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，

即∠P=∠DAP+∠D-∠DCP①，

∠P=∠PCB+∠B-∠PAB②.

由条件知∠DAP=∠PAB，∠PCB=∠DCP，

①+②得2∠P=∠D+∠B=40+36=76，

(2)仿(1)易知∠P与∠D、∠B之间的之间的关系为∠P=(∠D+∠B).

练习:

如图，BD是△ABC中∠ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线，它与BD的延长线交于点D，我们将会得到∠A=2∠D这一结论，试想一想为什么?并加以说明.

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